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初中几何不好怎么补救(初中数学几何题总是找不到思路)

班建红

2023-09-04 12:26:23 《历史奇闻》seo专员
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  初中的代数与几何,哪个更好学?

  如果让学生选的话,可能有不少的学生会选择代数。

  为什么?因为几何比代数难啊!

  有数据为证:

  最近学生考了区一模,上图中的两个表格,分别统计了这份试题中,代数题和几何题的平均分和得分率。从红色方框的内容可以看到,无论是区、镇还是学校,学生在代数题上平均能拿到68%左右的分数,并且有70%左右的得分率;而在几何题上平均只能拿到43%左右的分数,得分率也是40%多。这说明代数题比几何题要做的好,几何题的确属于不少学生的软肋。

  有办法解决吗?有。

  波利亚的“怎样解题表”告诉我们,解一道数学题的基本步骤,分别是审题、思考、表达和回顾。

  有的学生在做几何题时,前两步没问题,就是表达有困难,这属于“会做不会写”,解决的办法,可以参考我之前写的一篇文章,名叫《初中几何解答题学生会做不会写过程,数学老师可以怎么教? 》。

  更多的学生可能是在思考这一步被困住,思路找不到,自然无从下笔。

  那怎么办?

  思考的过程,本质上是大脑处理信息的过程。而思考能否顺利进行,离不开两样东西:

  一是处理信息的工具

  对于解几何题来说,这样的工具主要是课本上的概念、定理等知识点。另外,我们可以在网上或资料中找到各种各样所谓的几何经典模型,比如手拉手模型、对称全等模型等等。它们就像电脑的快捷键,快是快,但学起来也需要花费不小的时间和精力。因此,对于优秀的学生,这样的工具当然多多益善;可是如果学生连课本上的知识都糊里糊涂,还是谨慎考虑为好。

  二是处理信息的方法

  有些老师的选择,是把遇到的几何题分类成各种题型,每一种题型总结出相应的处理方法,然后让学生练习巩固。这感觉像是要把学生的大脑打造成一把“瑞士军刀”,来一道几何题,判断出其类型,就能翻出一个专门的方法来处理。问题是,如果遇到的题是过去没总结过的题型,学生可能就有点不适应了。比如去年(2020年)广东中考数学省题中的第17题,涉及点和圆的位置关系,就是之前几乎没总结过的题型,因为没有数据,所以不知道学生的适应程度如何,不过,今年(2021)的需要复习资料中都不约而同地增加了这种题型,甚至一些模拟考卷也有出现,反应确实快。

  有没有什么方法,能帮助学生摆脱所谓的题型,有效地处理信息,找到解题思路呢?有,我有四个思考策略,可以解决大多数的初中几何题。之所以是大多数,是因为我觉得可能有些题目用不上,但目前还没遇到。

  学生要想用好这四个策略,需要具备两个条件:首先是基础知识牢固,比如提到三角形中位线定理,应该能说出来,而不是一脸茫然。其次是画图技能足够,你有没有发现,学生如果不能根据题意画图,做几何题时通常会遇到两个麻烦:一是试题的配图不准确,思考容易受干扰;另一个是试题的配图不够用,有时标注得花花绿绿,想重新思考也没办法。

  对于及格层、中间层和后进层的学生来说,这两个条件会有点吃力;而对于优秀层甚至是尖子生,应该是不难做到的。

  下面一起来看看这四个思考策略。

  策略1.找更多的角或线的关系

  初中阶段的大多数数学几何题,本质上都是对线或角之间关系的处理。如果在解题中,有意识地找更多的角或线的关系,思路通常很快就出来了。

  来看一题:

  这题要求的是∠BAC的度数,是角的问题,根据策略1.我们需要找到更多的角。可题目中给出的,只有∠CAE和∠E的度数,但显然不够用。

  那还能推出其他的角吗?可以。由旋转可知∠C=∠E=70°,∠BAD=∠CAE=65°;再由AD⊥BC可知∠CAD=90°-∠C=20°,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=85°,选D.

  有了策略1.我们就能有方向地使用题目中的信息。

  策略2.把角或线“翻译”成数学概念

  有时思路出不来,不妨把图中的某些角或线“翻译”成数学概念,这时往往会有“柳暗花明又一村”的感觉。

  来看一题:

  这题要求的是BE的长度,是线段的问题,根据策略1.我们需要找更多的线段。题目给出了BC=8.以及S△AOE=20.从哪里入手得到更多线段呢?

  一个自然的想法,是由OE⊥AC得到S△AOE=½×OA×OE=20.不过貌似没什么用。那怎么办?仔细观察△AOE,它有一个顶点O,刚好是矩形ABCD两条对角线的交点,能不能用一个数学概念来“翻译”它?能,它是AC的中点!

  从线段中点能想到哪些知识点呢?直角三角形斜边中线,垂直平分线,三角形中位线......好了,如果想到三角形中位线,我们可以尝试过O作OF∥BC,这样就得到OF=½BC=4.而且又因为OF⊥AE,可以得到S△AOE=½×AE×OF=20.从而得到AE=10.

  现在线段够用了吗?好像还不够。再观察△AOE,它有一条边OE,能不能用一个数学概念来“翻译”它?能,它是AC的垂直平分线!如果想到这点,我们可以尝试连接CE,这时就有CE=AE=10.现在问题解决了,CE=10.BC=8.而△EBC是直角三角形,由勾股定理就能算出BE=6.

  思考这道题的关键,在于对点O和OE的“翻译”。

  有人可能要问:“怎么知道要‘翻译’这两个,而不是其他的点或线段?”很简单,因为题目给出S△AOE=20的条件,所以优先选择围绕△AOE来考虑,如果解决不了,才会考虑其他。

  策略3.提取基本图形

  角或线的关系从哪里来?从图形中来。初中阶段学的基本图形主要有四大类,分别是两线型、三角形,四边形和圆。无论题目的配图多么复杂,只要从中找到基本图形,思考就不会天马行空。

  来看一题:

  这题要求的是EF的长度,同样,根据策略1.我们需要找更多的线段。从图中首先可以看到正方形ABCD,由此得到AB=2.又因为E是AB的中点,所以BE=½AB=1.那EF怎么办呢?从EF⊥BD和∠ABD=45°,可以看到等腰三角形BEF,由此得到EF=BE/根号2=1/根号2.来个分母有理化就解决了。

  思考这道题的关键,在于从图中提取出正方形ABCD和等腰三角形BEF。

  策略4.划关键词找知识点

  有的学生审题的习惯不好,常常是题目没看完,就凭自己的经验下笔做了,结果就是发挥不稳定。审题时,划关键词是一个重要的好习惯,一来避免会错题意,二来某些关键词往往能为解题带来启发。

  来看一题:

  这题要求的是AB的长度,题目给出了BD=2.怎么用呢?如果划了关键词,会注意到“直径”两个字,看到直径想到什么?90°的圆周角。如果想到这点,我们可以尝试连接AD,由此得到∠ADB=90°。再用数学概念“翻译”一下∠BCD,可以发现它是圆周角,由此得到∠BAD=∠BCD=30°,从而得到AB=2BD=4.问题解决。

  思考这道题的关键,在于抓住“直径”这一关键词,联系相关的知识点。

  这四个思考策略,可以用28个字总结:线角关系是核心,基本图形是模型,概念翻译换角度,关键词中藏思路。

  如果你刚好是初中的同行,或者是初中的学生,希望今天的分享对你有帮助。

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